Astra от OpenAI претендует на десять крупных достижений в математике

OpenAI представила десять заявленных достижений в решении давних открытых проблем математики и теоретической информатики. Компания утверждает, что намеренно выбрала вопросы, по основному результату которых не было прогресса как минимум десять лет, причём большинство из них оставались нерешёнными значительно дольше. Подборка охватывает геометрию высоких размерностей, коды, исправляющие ошибки, сложность арифметических схем, теорию групп, операторные алгебры, квантовую теорию сложности, решёточную криптографию и экстремальную комбинаторику. Это разные специализации, но у них есть общая ключевая черта: каждая требует строгого доказательства, способного выдержать тщательную математическую проверку, а не просто дать правдоподобный численный ответ или экспериментально подтверждённый прогноз.

Работа приписывается внутренней версии Astra, которую OpenAI называет своей следующей крупной моделью. По данным компании, вычислительный поиск решений израсходовал токены, общая стоимость которых по тарифам Sol API составила бы около 2 000 долларов. Затем люди вместе с той же моделью преобразовали доказательства в научные рукописи. Модель также формализовала каждое доказательство в Lean — системе автоматизированной проверки доказательств, которая представляет определения и логические шаги в форме, доступной для машинной проверки. Если результаты выдержат независимую экспертную оценку, важнейший прорыв заключается не просто в том, что ИИ ответил на сложные вопросы, а в том, что одна система, как сообщается, создала доказательства в различных областях математики и преобразовала их в формально проверяемые сертификаты. Кроме того, OpenAI публикует изложение процесса рассуждений модели для каждого предложенного решения, предоставляя исследователям материал для изучения того, как разрабатывались доказательства.

Два результата относятся к упаковке и кодированию в пространствах высоких размерностей. Для упаковки сфер OpenAI сообщает о новых верхних границах плотности размещения непересекающихся сфер при росте размерности, достигающих порога Кона—Элкиса. Верхняя граница не задаёт наиболее плотную упаковку; вместо этого она доказывает, что ни одно возможное расположение не может превысить указанную плотность. В теории кодирования компания заявляет об экспоненциально улучшенных границах для двоичных кодов, а также об аналогичных результатах для сферических кодов высоких размерностей. Коды представляют собой наборы хорошо разделённых представлений, используемых для различения сообщений даже при наличии ошибок, тогда как сферические коды размещают разделённые точки на сфере высокой размерности. Экспоненциальные улучшения особенно примечательны, поскольку их преимущество быстро растёт с соответствующим параметром размерности или размера, а не сводится к фиксированному численному уточнению.

В алгебре и теории операторов Astra, как сообщается, построила конструкцию, доказывающую существование несофических групп, и привела аргумент, опровергающий гипотезу Конна о жёсткости. Теория групп изучает абстрактные системы симметрий и композиций, а условие софичности выделяет группы, которые в широком смысле можно аппроксимировать конечными структурами перестановок. Таким образом, доказательство существования несофических групп разрешило бы вопрос о существовании, показав, что такая схема аппроксимации охватывает не все группы. Заявленный результат по гипотезе Конна о жёсткости имеет иную логическую природу: вместо подтверждения предполагаемого универсального принципа он приводит его опровержение. Оба случая показывают, почему явное изложение рассуждений имеет принципиальное значение. Убедительное решение должно содержать конструкцию или контраргумент, которые специалисты смогут проверить строка за строкой.

Результат в области арифметических схем касается нижних границ для вычисления перманента. Перманент похож на определитель матрицы, но не содержит чередующихся знаков определителя, а его вычисление является одной из центральных трудных задач теории сложности. Арифметическая схема моделирует вычисление, составленное из алгебраических операций. Доказательство нижних границ означает демонстрацию того, что схемы определённого вида не могут вычислять перманент, если не обладают достаточным размером или сложностью. Задачи о нижних границах печально известны своей трудностью, поскольку исследователям необходимо исключить целые классы возможных алгоритмов, а не просто показать неэффективность известных методов. OpenAI характеризует свой вклад как новые нижние границы, а не как полное решение всех более широких вопросов сложности, связанных с перманентом.

В области квантовой теории сложности компания сообщает об экспоненциальной теореме о параллельном повторении для общих квантовых игр с двумя игроками. Параллельное повторение рассматривает, что происходит при многократном повторении интерактивной игры: в идеале вероятность выиграть во всех повторениях должна быстро снижаться, если только игроки не могли со стопроцентной вероятностью выиграть уже в исходной игре. Квантовые стратегии сложнее анализировать, поскольку игроки могут совместно использовать запутанность. По заявлению OpenAI, предложенная теорема устанавливает экспоненциальное поведение в общем случае квантовой игры с двумя игроками. В решёточной криптографии Astra, как утверждается, установила сложность аппроксимации задачи о ближайшем векторе с точностью до полиномиального множителя. Эта задача требует найти точку решётки, ближайшую к заданной цели, а сложность аппроксимации показывает, насколько трудной остаётся задача, когда алгоритму разрешено вернуть точку, отличающуюся от оптимальной не более чем в некоторое число раз. В заявлении результат связывается с областью задач, лежащей в основе важных криптографических исследований, но не утверждается, что он приведёт к каким-либо конкретным немедленным изменениям в уже используемых системах.

Остальные достижения относятся к дискретной геометрии и экстремальной комбинаторике. OpenAI заявляет, что Astra определила максимально возможный объём в гипотезе Эрхарта об объёме. Также сообщается о сверхэкспоненциальной нижней границе для многоцветных чисел Рамсея для треугольников, что решает задачу Эрдёша 183. Теория Рамсея изучает неизбежные закономерности, возникающие после того, как структура достигает достаточного размера; в многоцветном случае для треугольников вопрос заключается в том, при каких условиях в раскраске рёбер обязательно появляется одноцветный треугольник. Сверхэкспоненциальная нижняя граница показывает, что порог растёт ещё быстрее обычной экспоненциальной шкалы по соответствующему параметру. Наконец, компания заявляет о результатах по гипотезам о компактности и вырожденности в экстремальной теории графов, решающих задачи Эрдёша 146 и 180. Экстремальная теория графов изучает, насколько большим или плотным может быть граф, избегающий заданных конфигураций, поэтому эти решения касаются структурных пределов, а не отдельно взятого вычисленного случая.

Широта заявления имеет ключевое значение для его значимости: десять заявленных результатов представляют собой не вариации одного теста, а предполагаемый вклад в разные исследовательские сообщества, включая несколько вопросов, связанных с важнейшими математическими гипотезами и списками задач Эрдёша. В то же время публикацию следует воспринимать как начало оценки со стороны научного сообщества, а не как её замену. Сертификаты Lean способны проверить, следует ли формальное доказательство из закодированных предпосылок и определений, однако математикам всё равно необходимо убедиться, что эти формальные утверждения точно соответствуют исходным задачам, оценить рукописи и определить место каждого результата в существующей научной литературе. OpenAI заявляет, что принимает на себя ответственность за корректность, поэтому качество и прозрачность опубликованных рукописей, сертификатов и записей рассуждений приобретают особое значение.

OpenAI представляет проект как часть более масштабной работы по созданию инструментов, ускоряющих научные и математические открытия. Компания связывает эти результаты с более ранним созданным ИИ опровержением гипотезы Эрдёша о единичных расстояниях и с инициативой ChatGPT for Academic Researchers, предоставляющей 100 000 учёных и математиков бесплатный доступ к передовым моделям ChatGPT. В совокупности эти усилия указывают на стратегию, сочетающую непосредственные попытки проведения оригинальных исследований с расширением доступа к помощи ИИ. Заявленная стоимость токенов также впечатляет: хотя она не учитывает полные затраты на человеческий труд, обучение, инфраструктуру и проверку системы, она показывает, что предельная стоимость инференса, использованного для поиска именно этих решений, была сравнительно невысокой по указанным тарифам API.

OpenAI прямо признаёт, что исследовательские возможности ИИ порождают вопросы, которые технологическая компания не может решить в одиночку. Один из них — вопрос авторства и признания вклада. Компания утверждает, что люди помогали готовить рукописи и формализовать доказательства вместе с моделью, но сами математические аргументы были созданы Astra. Это различие важно, поскольку традиционные практики определения авторства сформировались вокруг человеческого интеллектуального вклада и ответственности. Открыто приписывая создание доказательств ИИ и одновременно принимая на себя ответственность за их корректность, OpenAI инициирует практическую дискуссию о признании вклада, подотчётности, проверке и авторстве в науке с применением ИИ. Долгосрочное значение этой публикации будет зависеть как от того, подтвердят ли специалисты десять результатов, так и от того, сделают ли представленные доказательства исследования, созданные ИИ, достаточно воспроизводимыми и надёжными, чтобы они стали частью обычной математической практики.